方差
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在概率論和數(shù)理統(tǒng)計(jì)中，方差（英文Variance）用來度量隨機(jī)變量和其數(shù)學(xué)期望（即均值）之間的偏離程度。在許多實(shí)際問題中，研究隨機(jī)變量和均值之間的偏離程度有著很重要的意義。如下面的例子：
已知某零件的真實(shí)長度為a，現(xiàn)用甲、乙兩臺(tái)儀器各測(cè)量10次，將測(cè)量結(jié)果X用坐標(biāo)上的點(diǎn)表示如圖：
甲儀器測(cè)量結(jié)果：
乙儀器測(cè)量結(jié)果：
兩臺(tái)儀器的測(cè)量結(jié)果的均值都是 a 。但是用上述結(jié)果評(píng)價(jià)一下兩臺(tái)儀器的優(yōu)劣，很明顯，我們會(huì)認(rèn)為乙儀器的性能更好，因?yàn)橐覂x器的測(cè)量結(jié)果集中在均值附近。
由此可見,研究隨機(jī)變量與其均值的偏離程度是十分必要的.那么,用怎樣的量去度量這個(gè)偏離程度呢?容易看到E(｜X-E(X)｜)能度量隨機(jī)變量與其均值E(X)的偏離程度. 但由于上式帶有絕對(duì)值,運(yùn)算不方便,通常用量
E｛[X-E(X)]^2｝ 這一數(shù)字特征就是方差。
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方差的定義
設(shè)X是一個(gè)隨機(jī)變量，若E｛[X-E(X)]^2｝存在，則稱E｛[X-E(X)]^2｝為X的方差，記為D(X)或DX。
即D(X)=E｛[X-E(X)]^2｝，而σ(X)=D(X)^0.5（與X有相同的量綱）稱為標(biāo)準(zhǔn)差或均方差。即用來衡量一組數(shù)據(jù)的離散程度的統(tǒng)計(jì)量。
方差刻畫了隨機(jī)變量的取值對(duì)于其數(shù)學(xué)期望的離散程度。
若X的取值比較集中，則方差D(X)較小；
若X的取值比較分散，則方差D(X)較大。
因此，D（X）是刻畫X取值分散程度的一個(gè)量，它是衡量X取值分散程度的一個(gè)尺度。
方差的計(jì)算
由定義知，方差是隨機(jī)變量 X 的函數(shù)
g(X)=[X-E(X)]^2
的數(shù)學(xué)期望。即：
由方差的定義可以得到以下常用計(jì)算公式：
D(X)=E(X^2)-[E(X)]^2
證明：
D(X)=E[X-E(X)]^2
=E｛X^2-2XE(X)+[E(X)]^2｝
=E(X^2)-2[E(X)]^2+[E(X)]^2
=E(X^2)-[E(X)]^2
方差其實(shí)就是標(biāo)準(zhǔn)差的平方。
方差的幾個(gè)重要性質(zhì)
（1）設(shè)c是常數(shù)，則D(c)=0。
（2）設(shè)X是隨機(jī)變量，c是常數(shù)，則有D(cX)=(c^2)D(X)。
（3）設(shè) X 與 Y 是兩個(gè)隨機(jī)變量，則
D(X+Y)= D(X)+D(Y)+2E｛[X-E(X)][Y-E(Y)]｝
特別的，當(dāng)X，Y是兩個(gè)相互獨(dú)立的隨機(jī)變量，上式中右邊第三項(xiàng)為0（常見協(xié)方差），
則D(X+Y)=D(X)+D(Y)。此性質(zhì)可以推廣到有限多個(gè)相互獨(dú)立的隨機(jī)變量之和的情況.
（4）D(X)=0的充分必要條件是X以概率為1取常數(shù)值c，即P｛X=c｝=1，其中E(X)=c。
常見隨機(jī)變量的期望和方差
設(shè)隨機(jī)變量X。
X服從(0—1)分布，則E(X)=p D(X)=p(1-p)
X服從泊松分布，即X~ π(λ),則 E(X)= λ，D(X)= λ
X服從均勻分布，即X~U(a，b),則E(X)=(a+b)/2, D(X)=(b-a)^2/12
X服從指數(shù)分布，即X~e(θ), E(X)= θ，D(X)= θ^2
X服從二項(xiàng)分布，即X~B(n,p)，則E(x)=np, D(X)=np(1-p)
X 服從正態(tài)分布，即X~N(μ,σ2), 則E(x)=μ, D(X)=σ^2
若Xi~ N(μi,σi^2),i=1,2,…n, 且它們相互獨(dú)立，則它們的線性組合C1X1+C2X2+…+CnXn(Ci是不全為0的常數(shù))仍然服""從正態(tài)分布,且C1X1+C2X2+…+CnXn~N (∑Ciμi, ∑Ci^2σi^2)
統(tǒng)計(jì)學(xué)的應(yīng)用
概念
樣本中各數(shù)據(jù)與樣本平均數(shù)的差的平方和的平均數(shù)叫做樣本方差；樣本方差的算術(shù)平方根叫做樣本標(biāo)準(zhǔn)差。
樣本方差和樣本標(biāo)準(zhǔn)差都是衡量一個(gè)樣本波動(dòng)大小的量，樣本方差或樣本標(biāo)準(zhǔn)差越大，樣本數(shù)據(jù)的波動(dòng)就越大。
方差和標(biāo)準(zhǔn)差。方差和標(biāo)準(zhǔn)差是測(cè)算離散趨勢(shì)最重要、最常用的指標(biāo)。方差是各變量值與其均值離差平方的平均數(shù)，它是測(cè)算數(shù)值型數(shù)據(jù)離散程度的最重要的方法。標(biāo)準(zhǔn)差為方差的平方根，用S表示。標(biāo)準(zhǔn)差相應(yīng)的計(jì)算公式為
標(biāo)準(zhǔn)差與方差不同的是，標(biāo)準(zhǔn)差和變量的計(jì)算單位相同，比方差清楚，因此很多時(shí)候我們分析的時(shí)候更多的使用的是標(biāo)準(zhǔn)差。
高考實(shí)例
（甘肅省，2002年）某校初三年級(jí)甲、乙兩班舉行電腦漢字輸入速度比賽，兩個(gè)班參加比賽的學(xué)生每分鐘輸入漢字的個(gè)數(shù)，經(jīng)統(tǒng)計(jì)和計(jì)算后結(jié)果如下表所示：
| 班級(jí) | 參加人數(shù) | 平均字?jǐn)?shù) | 中位數(shù) | 方差 |
| 甲 | 55 | 135 | 149 | 191 |
| 乙 | 55 | 135 | 151 | 110 |
有一位同學(xué)根據(jù)上表得出如下結(jié)論：
①甲、乙兩班學(xué)生的平均水平相同；
②乙班優(yōu)秀的人數(shù)比甲班優(yōu)秀的人數(shù)多（每分鐘輸入漢字達(dá)150個(gè)以上為優(yōu)秀）；
③甲班學(xué)生比賽成績的波動(dòng)比乙班學(xué)生比賽成績的波動(dòng)大．上述結(jié)論正確的是________（填序號(hào)）．
解：填①、②、③，顯然①、③是正確的是．對(duì)于第②個(gè)結(jié)論，因?yàn)榧椎闹形粩?shù)為149，表明甲班優(yōu)秀人數(shù)未過半，而乙的中位數(shù)為151，表明乙班優(yōu)秀人數(shù)在半數(shù)以上，故乙班優(yōu)秀的人數(shù)比甲班優(yōu)秀人數(shù)多，∴ ②正確．
切比雪夫不等式
定理
設(shè)隨機(jī)變量X就有數(shù)學(xué)期望E(X)=μ，方差D(X)=σ^2 ，則對(duì)于任意整數(shù)ε，有不等式
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或 |
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成立。
由切比雪夫不等式可以看出，若 ε 越小，則事件｛｜X-E(X)｜< ε ｝的概率越大，即隨機(jī)變量X 集中在期望附近的可能性越大.
就只連續(xù)性隨機(jī)變量的情況來證明。
設(shè)X的概念密度為 f(x).
|
當(dāng)方差已知時(shí)，切比雪夫不等式給出了r.v X與它的期望的偏差不小于3σ 的概率的估計(jì)式 .
如取ε =3σ
可見，對(duì)任給的分布，只要期望和方差D(X)，則 r.v X取值偏離E(X)超過3σ 的概率小于0.111 .
應(yīng)用實(shí)例
例9 已知正常男性成人血液中 ，每一毫升白細(xì)胞數(shù)平均是7300，均方差是700 . 利用切比雪夫不等式估計(jì)每毫升白細(xì)胞數(shù)在5200~9400之間的概率 .
解：設(shè)每毫升白細(xì)胞數(shù)為X
依題意，E(X)=7300,D(X)=7002
所求為 P(5200 ≤ X≤ 9400)
P(5200≤ X ≤ 9400)
= P(-2100 ≤X-E(X) ≤ 2100)
= P｛ ｜X-E(X)｜ ≤ 2100｝
由切比雪夫不等式，
即估計(jì)每毫升白細(xì)胞數(shù)在5200~9400之間的概率不小于8/9 .
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